Chú thích Pi

  1. ↑ Notable Large Computations: Pi Alexander J. Yee, cập nhật 25/4/2012: kỷ lục 10,000,000,000,050 chữ số thập phân được ghi cho Shigeru Kondo & Alexander Yee. Để chạy kết quả này, các ông đã phải sử dụng máy tính 2 x Intel Xeon X5680 @ 3.33 GHz - (12 nhân vật lý, 24 siêu phân luồng), 96 GB DDR3 với 1066 MHz, ổ đĩa cứng 24 x 2 TB và tính toán trong 371 ngày, từ 10/10/2010 đến 16/10/2011. Xem ảnh cấu hình máy tính tại đây
  2. ↑ The first scalable multi78-threaded Pi-benchmark for multi-core systems... Last updated: ngày 8 tháng 2 năm 2015
  3. 1 2 3 Arndt & Haenel 2006, tr. 8
  4. ↑ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. , p 183.
  5. ↑ Holton, David; Mackridge, Peter (2004). “Greek: an Essential Grammar of the Modern Language”. Routledge. ISBN 0-415-23210-4. , p. xi.
  6. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 165. Một bản sao tác phẩm của Jones có thể tìm thấy trong Berggren, Borwein & Borwein 1997, tr. 108–109
  7. ↑ Xem Schepler 1950, tr. 220: trước đó ở thế kỷ XVII,William Oughtred đã sử dụng ký tự π để biểu diễn chu vi của một đường tròn.
  8. 1 2 3 4 5 Arndt & Haenel 2006, tr. 166
  9. ↑ Leonhard Euler. Introductio in analysin infinitorum. tr. 166. 
  10. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 5
  11. 1 2 Salikhov, V. (2008). “On the Irrationality Measure of pi”. Russian Mathematical Survey 53 (3): 570. Bibcode:2008RuMaS..63..570S. doi:10.1070/RM2008v063n03ABEH004543. 
  12. ↑ Mayer, Steve. “The Transcendence of π”. Bản gốc (PDF) lưu trữ 29/9/2000. Truy cập ngày 4 tháng 11 năm 2007.  Kiểm tra giá trị ngày tháng trong: |archivedate= (trợ giúp)
  13. ↑ Posamentier & Lehmann 2004, tr. 25
  14. ↑ Eymard & Lafon 1999, tr. 129
  15. ↑ Beckmann 1989, tr. 37
    Schlager, Neil; Lauer, Josh (2001). Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery. Gale Group. ISBN 0-7876-3933-8. , p 185.
  16. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 22–23
    Preuss, Paul (ngày 23 tháng 7 năm 2001). “Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key”. Lawrence Berkeley National Laboratory. Truy cập ngày 10 tháng 11 năm 2007. 
  17. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 22, 28–30
  18. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 3
  19. 1 2 Eymard & Lafon 1999, tr. 78
  20. ↑ "Sloane's A001203: Continued fraction for Pi", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Khôi phục 12 tháng 4 năm 2012.
  21. ↑ Lange, L. J. (tháng 5 năm 1999). “An Elegant Continued Fraction for π”. The American Mathematical Monthly 106 (5): 456–458. JSTOR 2589152. doi:10.2307/2589152.  Chú thích sử dụng tham số |month= bị phản đối (trợ giúp)
  22. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 240
  23. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 242
  24. ↑ "Chúng ta có thể kết luận rằng mặc dù những người Ai Cập cổ đại không định nghĩa chính xác giá trị của π, trên thực tế họ đã dùng nó"Verner, M. (2003). “The Pyramids: Their Archaeology and History”. , p. 70.
    Petrie (1940). “Wisdom of the Egyptians”. , p. 30.
    . Xem thêm Legon, J. A. R. (1991). “On Pyramid Dimensions and Proportions”. Discussions in Egyptology 20: 25–34. .
    Xem thêm Petrie, W. M. F. (1925). “Surveys of the Great Pyramids”. Nature Journal 116 (2930): 942–942. Bibcode:1925Natur.116..942P. doi:10.1038/116942a0. 
  25. ↑ Egyptologist: Rossi, Corinna, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press, 2004, pp 60–70, 200, ISBN 978-0-521-82954-0.
    Skeptics: Shermer, Michael, The Skeptic Encyclopedia of Pseudoscience, ABC-CLIO, 2002, pp 407–408, ISBN 9781576076538.
    Xem thêm Fagan, Garrett G., Archaeological Fantasies: How Pseudoarchaeology Misrepresents The Past and Misleads the Public, Routledge, 2006, ISBN 978-0-415-30593-8.
    Một danh sách các cách giải thích về hình dạng kim tự tháp không liên quan tới π có thể xem tại Roger Herz-Fischler (2000), The Shape of the Great Pyramid, Wilfrid Laurier University Press, tr. 67–77, 165–166, ISBN 9780889203242 
  26. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 167
  27. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 168–169
  28. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 169
  29. ↑ Đó là các bài 1 Các nhà vua 7:23 và 2 Biên niên sử 4:2; xem Arndt & Haenel 2006, tr. 169, Schepler 1950, tr. 165, vàBeckmann 1989, tr. 14–16.
  30. ↑ Các giả thiết rằng hồ có hình lục giác hoặc có một vành cong bao ngoài được đưa ra để giải thích độ chênh lệch với giá trị thực khá lớn. XemBorwein, Jonathan M.; Bailey, David H. (2008). Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st century (ấn bản 2). A. K. Peters. ISBN 978-1-56881-442-1. , pp. 103, 136, 137.
  31. ↑ The Scientific & the Divine. James A. Arieti, Patrick A. Wilson (2003). Rowman & Littlefield. pp. 9–10. ISBN 978-0-7425-1397-6.
  32. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 170
  33. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 175, 205
  34. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 171
  35. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 176
    Boyer & Merzbach 1991, tr. 168
  36. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 15–16, 175, 184–186, 205. Grienberger đạt được 39 chữ số năm 1630; Sharp 71 chữ số năm 1699.
  37. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 176–177
  38. 1 2 Boyer & Merzbach 1991, tr. 202
  39. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 177
  40. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 178
  41. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 179
  42. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 180
  43. ↑ Azarian, Mohammad K. (2010). “al-Risāla al-muhītīyya: A Summary” (PDF). Missouri Journal of Mathematical Sciences 22 (2): 64–85.  Chú thích sử dụng tham số |separator= bị phản đối (trợ giúp)
  44. ↑ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999). “Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi”. MacTutor History of Mathematics archive. Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2012.  Chú thích sử dụng tham số |separator= bị phản đối (trợ giúp)
  45. 1 2 3 Arndt & Haenel 2006, tr. 182
  46. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 182–183
  47. ↑ Arndt và đồng nghiệp
  48. ↑ Grienbergerus, Christophorus (1630). Elementa Trigonometrica[[Thể loại:Bài viết có văn bản tiếng Latinh]] (PDF) (bằng tiếng Latin).  Tựa đề URL chứa liên kết wiki (trợ giúp) Bảo trì CS1: Ngôn ngữ không rõ (link) lưu 1/2/2014. Kết quả của ông là 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.
  49. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 185–191
  50. ↑ Roy 1990, tr. 101–102
    Arndt & Haenel 2006, tr. 185–186
  51. 1 2 3 Roy 1990, tr. 101–102
  52. ↑ Joseph 1991, tr. 264
  53. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 188. Newton được Arndt trích dẫn.
  54. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 187
  55. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 188–189
  56. 1 2 Eymard & Lafon 1999, tr. 53–54
  57. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 189
  58. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 156
  59. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 192–193
  60. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 72–74
  61. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 192–196, 205
  62. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 194–196
  63. 1 2 Borwein, J. M.; Borwein, P. B. (1988). “Ramanujan and Pi”. Scientific American 256 (2): 112–117. Bibcode:1988SciAm.258b.112B. doi:10.1038/scientificamerican0288-112. 
    Arndt & Haenel 2006, tr. 15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202
  64. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 69–72
  65. ↑ Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Dilcher, K. (1989). “Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions”. American Mathematical Monthly 96 (8): 681–687. doi:10.2307/2324715. 
  66. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 223, (công thức 16.10). Chú ý rằng (n − 1)n(n + 1) = n3 − n.
    Wells, David (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . Penguin. tr. 35. ISBN 978-0-140-26149-3.  Bảo trì CS1: Văn bản dư (link)
  67. 1 2 Posamentier & Lehmann 2004, tr. 284
  68. ↑ Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", in lại trong Berggren, Borwein & Borwein 1997, tr. 129–140
  69. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 196
  70. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 197
  71. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 197. Xem thêm Reitwiesner 1950.
  72. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 197
  73. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 15–17
  74. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 131
  75. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 132, 140
  76. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 87
  77. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 111 (5 times); pp. 113–114 (4 times).
    Xem Borwein & Borwein 1987 để có thêm chi tiết về các thuật toán.
  78. 1 2 3 Bailey, David H. (ngày 16 tháng 5 năm 2003). “Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation” (PDF). Truy cập ngày 12 tháng 4 năm 2012. 
  79. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 17. "39 chữ số của π là đủ để tính toán thể tích vũ trụ tới nguyên tử gần nhất."
    Liên quan tới các chữ số thêm vào để bù cho sai số làm tròn trong tính toán, Arndt kết luận rằng một vài trăm chữ số sẽ đáp ứng đủ bất kỳ ứng dụng toán học nào.
  80. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 17–19
  81. ↑ Schudel, Matt (ngày 25 tháng 3 năm 2009). “John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi”. The Washington Post. tr. B5. 
  82. ↑ “The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?”. The Independent. Ngày 8 tháng 1 năm 2010. Truy cập ngày 14 tháng 4 năm 2012. 
  83. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 18
  84. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 103–104
  85. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 104
  86. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 104, 206
  87. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 110–111
  88. ↑ Eymard & Lafon 1999, tr. 254
  89. ↑ Pi Computation Record
  90. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 110–111, 206
    Bellard, Fabrice, "Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer", 11 Feb 2010.
  91. ↑ Pi - 5 Trillion Digits
  92. 1 2 "Round 2... 10 Trillion Digits of Pi", Alexander J. Yee & Shigeru Kondo trên NumberWorld.org, Cập nhật 22/10/2011. Truy cập 7/1/2013.
  93. ↑ Plouffe, Simon (tháng 4 năm 2006). “Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2)” (PDF). Truy cập ngày 10 tháng 4 năm 2009. 
  94. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 77–84
  95. 1 2 Gibbons, Jeremy, "Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi", 2005. Gibbons đã tạo ra một phiên bản cải tiến của thuật toán Wagon.
  96. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 77
  97. ↑ Rabinowitz, Stanley; Wagon, Stan (tháng 3 năm 1995). “A spigot algorithm for the digits of Pi”. American Mathematical Monthly 102 (3): 195–203. doi:10.2307/2975006.  Chú thích sử dụng tham số |month= bị phản đối (trợ giúp) Một chương trình máy tính đã được tạo ra thực hiện thuật toán Wagon với chỉ 120 ký tự của phần mềm.
  98. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 117, 126–128
  99. ↑ Bailey, David H.; Borwein, Peter B.; and Plouffe, Simon (tháng 4 năm 1997). “On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants” (PDF). Mathematics of Computation 66 (218): 903–913. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.  Chú thích sử dụng tham số |month= bị phản đối (trợ giúp)
  100. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 128. Plouffe đã tạo ra một thuật toán trích xuất chữ số thập phân, nhưng nó chậm hơn các tính toán đầy đủ, trực tiếp tất cả các số đứng trước.
  101. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 20
    Bellards formula in: Bellard, Fabrice. “A new formula to compute the nth binary digit of pi”. Bản gốc lưu trữ ngày 12 tháng 9 năm 2007. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2007. 
  102. ↑ Palmer, Jason (ngày 16 tháng 9 năm 2010). “Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit”. BBC News. Truy cập ngày 26 tháng 3 năm 2011. 
  103. ↑ Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 200, 209
  104. ↑ Weisstein, Eric W., "Semicircle" từ MathWorld.
  105. 1 2 Ayers 1964, tr. 60
  106. 1 2 Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 210–211
  107. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 39
  108. ↑ Ramaley, J. F. (tháng 10 năm 1969). “Buffon's Noodle Problem”. The American Mathematical Monthly 76 (8): 916–918. JSTOR 2317945. doi:10.2307/2317945.  Chú thích sử dụng tham số |month= bị phản đối (trợ giúp)
  109. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 39–40
    Posamentier & Lehmann 2004, tr. 105
  110. ↑ Badger, Lee (tháng 4 năm 1994). “Lazzarini's Lucky Approximation of π”. Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 67 (2): 83–91. JSTOR 2690682. doi:10.2307/2690682.  Chú thích sử dụng tham số |month= bị phản đối (trợ giúp)
  111. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 43
    Posamentier & Lehmann 2004, tr. 105–108
  112. ↑ Ayers 1964, tr. 100
  113. 1 2 Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 592
  114. ↑ Maor, Eli, E: The Story of a Number, Princeton University Press, 2009, p 160, ISBN 978-0-691-14134-3 ("five most important" constants).
  115. ↑ Weisstein, Eric W., "Roots of Unity" từ MathWorld.
  116. ↑ Weisstein, Eric W., "Cauchy Integral Formula", MathWorld.
  117. ↑ Joglekar, S. D., Mathematical Physics, Universities Press, 2005, p 166, ISBN 978-81-7371-422-1.
  118. 1 2 Klebanoff, Aaron (2001). “Pi in the Mandelbrot set” (PDF). Fractals 9 (4): 393–402. doi:10.1142/S0218348X01000828. Truy cập ngày 14 tháng 4 năm 2012. 
  119. ↑ Peitgen, Heinz-Otto, Chaos and fractals: new frontiers of science, Springer, 2004, pp. 801–803, ISBN 978-0-387-20229-7.
  120. ↑ Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 191–192
  121. ↑ Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 190
  122. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 41–43
  123. ↑ Định lý này được chứng minh bởi Ernesto Cesàro năm 1881. Xem một chứng minh chặt chẽ hơn ở Hardy, G. H., An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, định lý 332.
  124. ↑ Ogilvy, C. S.; Anderson, J. T., Excursions in Number Theory, Dover Publications Inc., 1988, pp. 29–35, ISBN 0-486-25778-9.
  125. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 43
  126. ↑ Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl, Fundamentals of Physics, 5th Ed., John Wiley & Sons, 1997, p 381, ISBN 0-471-14854-7.
  127. ↑ Imamura, James M (ngày 17 tháng 8 năm 2005). “Heisenberg Uncertainty Principle”. University of Oregon. Bản gốc lưu trữ ngày 12 tháng 10 năm 2007. Truy cập ngày 9 tháng 9 năm 2007. 
  128. ↑ Yeo, Adrian, The pleasures of pi, e and other interesting numbers, World Scientific Pub., 2006, p 21, ISBN 978-981-270-078-0.
    Ehlers, Jürgen, Einstein's Field Equations and Their Physical Implications, Springer, 2000, p 7, ISBN 978-3-540-67073-5.
  129. ↑ Nave, C. Rod (ngày 28 tháng 6 năm 2005). “Coulomb's Constant”. HyperPhysics. Georgia State University. Truy cập ngày 9 tháng 11 năm 2007. 
  130. ↑ C. Itzykson, J-B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill, 1980.
  131. ↑ Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, Wiley, 1968, pp 174–190.
  132. 1 2 Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 106–107, 744, 748
  133. ↑ Low, Peter, Classical Theory of Structures Based on the Differential Equation, CUP Archive, 1971, pp 116–118, ISBN 978-0-521-08089-7.
  134. ↑ Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967, p 233, ISBN 0-521-66396-2.
  135. ↑ Bracewell, R. N., The Fourier Transform and Its Applications, McGraw-Hill, 2000, ISBN 0-07-116043-4.
  136. ↑ Hans-Henrik Stølum (ngày 22 tháng 3 năm 1996). “River Meandering as a Self-Organization Process”. Science 271 (5256): 1710–1713. Bibcode:1996Sci...271.1710S. doi:10.1126/science.271.5256.1710. 
  137. ↑ Posamentier & Lehmann 2004, tr. 140–141
  138. 1 2 3 Arndt & Haenel 2006, tr. 44–45
  139. ↑ “Số "Pi" và nàng Thơ” (Thông cáo báo chí). Vô Biên. 3 tháng 8 năm 2012. Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2012.  Kiểm tra giá trị ngày tháng trong: |accessdate= (trợ giúp)
  140. ↑ “Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi”. News Guangdong. Ngày 28 tháng 11 năm 2006. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2007.  Ông đọc sai số thứ 67 891, đáng lẽ là "0" lại đọc là "5"
  141. ↑ "Most Pi Places Memorized", Guinness World Records. Truy cập ngày 3 tháng 4 năm 2012.
  142. ↑ Otake, Tomoko (ngày 17 tháng 12 năm 2006). “How can anyone remember 100,000 numbers?”. The Japan Times. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2007. 
  143. ↑ Raz, A.; Packard, M. G. (2009). “A slice of pi: An exploratory neuroimaging study of digit encoding and retrieval in a superior memorist”. Neurocase 6: 1–12. 
  144. ↑ Keith, Mike. “Cadaeic Cadenza Notes & Commentary”. Truy cập ngày 29 tháng 7 năm 2009. 
    :{|style="border: none; text-align: center;"|-|One||/||A||Poem||/||A||Raven||/||Midnights||so||dreary,||tired||and||weary,|-|3 ||.||1||4 || ||1||5 || ||9 Ỗ ||2 ||6 ||5 ||3 ||5
  145. ↑ Keith, Michael; Diana Keith (ngày 17 tháng 2 năm 2010). Not A Wake: A dream embodying (pi)'s digits fully for 10000 decimals. Vinculum Press. ISBN 978-0963009715.  Chú thích sử dụng tham số |coauthors= bị phản đối (trợ giúp)
  146. ↑ Posamentier & Lehmann 2004, tr. 118
    Arndt & Haenel 2006, tr. 50
  147. 1 2 MIT cheers. Truy cập ngày 12 tháng 4 năm 2012.
  148. ↑ Great Pi Day Activities for Teachers Pi Day March 14, 2008
  149. ↑ “Supporting the designation of Pi Day, and for other purposes” (Thông cáo báo chí). Hạ viện Hoa Kỳ, Library of Congress. 9*3*2009. Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2012.  Kiểm tra giá trị ngày tháng trong: |date=, |accessdate= (trợ giúp)
  150. ↑ “Google's strange bids for Nortel patents”. FinancialPost.com. Reuters. Ngày 5 tháng 7 năm 2005. Truy cập ngày 16 tháng 8 năm 2011. 
  151. ↑ Abbott, Stephen (tháng 4 năm 2012). “My Conversion to Tauism” (PDF). Math Horizons 19 (4): 34. doi:10.4169/mathhorizons.19.4.34. 
  152. ↑ Palais, Robert (2001). “π Is Wrong!” (PDF). The Mathematical Intelligencer 23 (3): 7–8. doi:10.1007/BF03026846. 
  153. ↑ Hartl, Michael. “The Tau Manifesto”. Truy cập ngày 28 tháng 4 năm 2012. 
  154. ↑ Palmer, Jason (ngày 28 tháng 6 năm 2011). “'Tau day' marked by opponents of maths constant pi”. BBC News. Truy cập ngày 28 tháng 4 năm 2012. 
  155. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 14. Phần này của câu chuyện bị lược đi trong kịch bản chuyển thể phim từ tiểu thuyết này.
  156. ↑ Gill, Andy (ngày 4 tháng 11 năm 2005). “Review of Aerial”. The Independent. hầu hết sự thỏa mãn tự kỉ của nhà toán học bị ám ảnh-ép buộc bị mê hoặc bởi "Pi" (thứ tạo nên cơ hội được nghe Bush chậm rãi hát những khúc dài con số được xem xét, dài hàng tá chữ số) 
  157. ↑ Hard 'n Phirm (2005). “Horses and Grasses. Hard 'N Phirm” (bằng tiếng Anh). Bản gốc lưu trữ ngày 10 tháng 10 năm 2010.  Kiểm tra giá trị ngày tháng trong: |archivedate= (trợ giúp)
  158. ↑ Hard 'n Phirm: "Pi". Đạo diễn: Keith Schofield
  159. ↑ Edward J. Goodwin (July 1894) "Quadrature of the circle," American Mathematical Monthly, 1(7): 246-248.
    • See: Purdue Agricultural Economics.
    • Reprinted in: Lennart Berggren, Jonathan Borwein, and Peter Borwein, Pi: A Source Book, 3rd ed. (New York, New York: Springer-Verlag, 2004), page 230.
    • See also: Edward J. Goodwin (1895) "(A) The trisection of an angle; (B) Duplication of the cube," American Mathemtical Monthly, 2: 337.
  160. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 211–212
    Posamentier & Lehmann 2004, tr. 36–37
    Hallerberg, Arthur (tháng 5 năm 1977). “Indiana's squared circle”. Mathematics Magazine 50 (3): 136–140. JSTOR 2689499. doi:10.2307/2689499. 
  161. ↑ Midnight Entity, Tardis Index File. accessed ngày 22 tháng 7 năm 2012
  162. ↑ ISBN 0547350651
  163. ↑ Life of Pi

Tài liệu tham khảo

WikiPedia: Pi http://www.cecm.sfu.ca/~jborwein/pi-slides.pdf http://www.britannica.com/EBchecked/topic/458986 http://cdbaby.com/cd/hardnphirm http://business.financialpost.com/2011/07/05/googl... http://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=... http://books.google.com/books?id=QlbzjN_5pDoC&pg=P... http://www.guinnessworldrecords.com/world-records/... http://keithschofield.com/pi/std.html http://khoahocnet.com/2012/03/08/vo-bien-s%E1%BB%9... http://www.lifeofpimovie.com/